Разложение на множители

Разложите целое число на простые множители. Получите произведение, запись со степенями, шаги деления и проверку. Можно рассчитать одно число или список.

Исходные числа

Здесь приведён пример. Измените параметры под свой сценарий.

Модуль числа — до 1 000 000 000 000. Можно вводить минус, плюс и разрядные пробелы: -84, 1 000. Ноль, дроби и алгебраические выражения не принимаются. Для отрицательных чисел нужна клавиатура со знаком минуса.

Другие примеры:

Результат расчёта

Разложение числа на простые множители—

Введите число и нажмите «Разложить на множители».

Как разложить число на простые множители

Калькулятор раскладывает целые числа в произведение простых множителей и показывает решение по шагам. Выберите один ввод или список, задайте значения и нажмите «Разложить на множители». В ответе есть запись со степенями, та же запись без степеней и проверка умножением. Ниже можно раскрыть последовательность делений для каждого числа.

В списке допускается от 1 до 10 значений. Используйте точку с запятой, запятую или новую строку: «360; 97; -84». Разрядные пробелы внутри числа разрешены, поэтому «1 000» означает тысячу. В поле одного числа запись «1,5» считается ошибкой, а в списке она задаёт два целых числа: 1 и 5. Десятичные дроби здесь не рассчитываются.

Что такое простые множители

Простое число — натуральное число больше единицы, имеющее ровно два положительных делителя: 1 и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Составное число можно представить в виде произведения нескольких простых чисел. Повторяющиеся множители объединяются в степени: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.

Такую запись называют каноническим разложением. Основная теорема арифметики утверждает, что для каждого натурального числа больше 1 оно единственно с точностью до порядка множителей. Это свойство разобрано в учебном материале MIT. Перестановка множителей не меняет ни число, ни его разложение.

Пример: разложение 360

Начнём с наименьшего простого числа. Выполняем деления: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Теперь на 2 делить нельзя, проверяем следующее простое: 45 ÷ 3 = 15, затем 15 ÷ 3 = 5 и 5 ÷ 5 = 1. Получим шесть множителей с повторами: три двойки, две тройки и пятёрку.

Итог: 360 = 2³ × 3² × 5. Показатель степени сообщает, сколько раз используется множитель. Обратная проверка: 2³ = 8, 3² = 9; произведение 8 × 9 × 5 равно 360. Проверка подтверждает исходное значение; простоту каждого множителя обеспечивает полный алгоритм деления.

Почему расчёт заканчивается

Метод последовательного деления проверяет простые числа по возрастанию. Найденный делитель извлекается столько раз, сколько возможно. После этого достаточно проверить кандидатов до квадратного корня из оставшегося числа: у составного остатка обязательно существует делитель не больше этого корня. Метод описан в учебнике Cosumnes River College.

Здесь модуль ограничен одним триллионом, то есть 10¹². Для такого диапазона можно полностью проверить нужные простые делители до миллиона. Если после всех необходимых проверок остался множитель больше 1, его простота уже доказана. Большие значения отклоняются до расчёта. Калькулятор не выводит незавершённую факторизацию как полный ответ.

Число и сумма делителей

Из разложения можно получить количество положительных делителей. Для каждого показателя степени прибавьте единицу и перемножьте результаты. У 360 это (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24. Любой делитель получается выбором степени двойки от 0 до 3, тройки от 0 до 2 и пятёрки от 0 до 1.

Сумма положительных делителей находится перемножением сумм степеней: (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 3 + 9) × (1 + 5) = 1 170. В эту сумму входят и единица, и само исходное число. У отрицательного значения оба показателя относятся к его положительному модулю.

Отрицательные числа, единица и ноль

Для отрицательного числа сначала выносится знак: -84 = -1 × 2² × 3 × 7. Множитель -1 отвечает только за знак и простым числом не является. Простые множители модуля совпадают с разложением положительного 84.

Единица не является ни простой, ни составной: у неё нет простых множителей. Для 1 и -1 инструмент показывает это пояснение, а не выдуманное разложение. У их модуля единственный положительный делитель — 1. Ноль нельзя записать конечным произведением простых чисел, поэтому для него выводится ошибка.

Где пригодится разложение

Разложения помогают сокращать дроби, находить общий делитель и общее кратное. Для 12 = 2² × 3 и 18 = 2 × 3² общий набор с меньшими показателями даёт НОД 6, а с большими — НОК 36. Для готовых вычислений доступны калькулятор НОД, калькулятор НОК и калькулятор дробей.

Область инструмента. Здесь выполняется разложение целых чисел. Разложение многочлена, вынесение общего множителя из выражения с буквами, разность квадратов и решение уравнения требуют другого алгоритма. Запись вроде x² − 1 в поле не поддерживается.

Результат можно скопировать вместе с шагами или открыть по ссылке с параметрами. При изменении исходных данных прежнее решение исчезает, чтобы его нельзя было принять за ответ нового расчёта. Кнопки с примерами помогают проверить простой, составной и отрицательный варианты.

Частые вопросы

Можно ли разложить многочлен или выражение с буквами?

Этот калькулятор работает с целыми числами. Многочлены, выражения с переменными, скобки и уравнения не поддерживаются. Введите само число, например 360.

Какое самое большое число можно ввести?

Модуль каждого числа не должен превышать 1 000 000 000 000. В этом диапазоне разложение выполняется полностью и точно. В списке допускается до 10 чисел.

Почему единица не имеет простых множителей?

Простое число должно быть больше 1 и иметь два положительных делителя. У единицы только один. Для 1 и -1 инструмент показывает отсутствие простых множителей.

Что будет с отрицательным числом и нулём?

У отрицательного числа раскладывается модуль, а знак выносится в -1. Этот множитель не считается простым. Для нуля разложение не определено, поэтому расчёт отклоняется.

Почему одно число встречается в ответе несколько раз?

Каждое повторение означает ещё одно точное деление на тот же простой множитель. В записи со степенями повторы объединены: 2 × 2 × 2 превращается в 2³.

Как проверить полученный ответ?

Возведите простые множители в указанные степени и перемножьте; для отрицательного числа учтите -1. Должно получиться исходное число. Пошаговое решение показывает все деления до единицы.