Перевод систем счисления

Как пользоваться переводом систем счисления

Введите число, выберите исходную систему и ту, в которую хотите перевести его. Нажмите «Перевести»: результат появится рядом с формой, а ниже будет пошаговое решение. Таблица одновременно покажет двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную запись. Такой конвертер помогает проверить задачи по информатике, разобрать цифровой код или сравнить несколько способов представления одного значения.

Калькулятор работает онлайн в браузере и выполняет расчёт локально. Основания можно менять в любом сочетании от 2 до 36. В поле допускаются целые, отрицательные и дробные числа. Для десятичной дроби подходят точка и запятая; для периодической — скобки, например 0.(3). После изменения данных прежний результат очищается. Это помогает не принять старый ответ за новый.

Что означают основание и цифры

В позиционной системе значение цифры зависит от её места. Основание определяет количество доступных цифр и вес каждого разряда. Десятичная система использует 0–9, двоичная — только 0 и 1, восьмеричная — 0–7. В шестнадцатеричной после 9 идут латинские A, B, C, D, E, F: они соответствуют десятичным значениям 10–15.

Для основания 36 используются все десять цифр и буквы A–Z. В троичной допустимы лишь 0, 1, 2. Поэтому запись 102 верна в троичной системе, но содержит ошибку в двоичной. Регистр букв не меняет значение: ff и FF равны. Русские А и С похожи на латинские A и C, однако это другие символы, и калькулятор попросит исправить ввод.

Названия BIN (binary), OCT, DEC и HEX часто встречаются в программировании. Они обозначают системы с основаниями 2, 8, 10 и 16. Сам индекс или префикс в поле не нужен: для шестнадцатеричного FF выберите 16 в списке. Точка отделяет дробную часть, а пробелами можно разделить группы разрядов.

Перевод в десятичную систему

Чтобы перевести запись в десятичную, умножают каждую цифру на основание в степени её позиции, затем находят сумму. Справа от точки показатели отрицательные. Для двоичного 1010.11 получаем 1 × 2³ + 1 × 2¹ + 1 × 2⁻¹ + 1 × 2⁻² = 10.75. Нулевые слагаемые не меняют ответ. Это же значение в восьмеричной системе — 12.6, в шестнадцатеричной — A.C.

Ещё пример: 3AF в шестнадцатеричной системе равно 3 × 16² + 10 × 16 + 15 = 943 в десятичной. Буква A здесь означает одну цифру со значением десять. Основание записывается отдельно, поэтому число 10 в двоичной системе равно двум, а в десятичной — десяти.

Из десятичной системы в двоичную и другие

Целая часть переводится последовательным делением на новое основание. Делим десятичное 17 на 2: целое частное 8, остаток 1. Далее 8 делим на 2, получаем 4 и остаток 0; продолжаем до нулевого частного. Остатки 1, 0, 0, 0, 1 читаем в обратном порядке — снизу вверх. Получаем двоичное 10001. Для восьмеричной и шестнадцатеричной систем алгоритм тот же, меняется делитель.

Для дробной части используется умножение на целевое основание. У десятичной дроби 0.25 первый шаг 0.25 × 2 = 0.5 даёт цифру 0; второй 0.5 × 2 = 1 даёт цифру 1. Целые части произведений записываются сверху вниз. Поэтому 17.25 в десятичной системе превращается в 10001.01 в двоичной. В таблице калькулятора дроби представлены точными отношениями целых чисел — промежуточного округления нет.

Почему дробь иногда не заканчивается

Конечная десятичная запись может стать бесконечной в другой системе. Например, 0.1 из десятичной в двоичную переводится как 0.0(0011): после первого нуля группа 0011 повторяется. Скобки обозначают точный период, а не приблизительный ответ. При переводе обратно в десятичную эта запись снова даст 0.1.

Если заданного предела знаков не хватило для обнаружения периода или конца дроби, калькулятор выводит многоточие и сообщение о неполной записи. Такая дробь усечена, она не округлена. Увеличьте предел до 128 или используйте точное значение в виде отношения числителя к знаменателю. Очень маленькая дробь может начинаться множеством нулей: 0.000… ещё не означает ноль.

Перевод сохраняет само число, меняется только его запись. Например, 0.(9) в десятичной системе равно единице. Ввод периода позволяет выполнить обратный перевод без потери точности. Многоточие во входном поле не допускается: оно не определяет оставшиеся цифры однозначно.

Триады, тетрады и проверка результата

Для быстрого перевода между двоичной и восьмеричной системами используют триады — группы по три бита. Для шестнадцатеричной нужны тетрады — четыре бита. Целую часть группируем от точки налево, дробную — направо, дополняя крайние группы нулями. Так двоичное 11111111 разбивается на 1111 1111 и становится FF в шестнадцатеричной системе; в десятичной это 255.

Один байт содержит восемь бит, поэтому FF — максимальное беззнаковое значение одного байта. Этот пример часто помогает программистам при работе с памятью и электроникой. Здесь переводится математическое значение; размер машинного слова, переполнение и знаковый дополнительный код не задаются. Отрицательное число получает обычный минус: −1 остаётся −1, а не превращается в двоичные 11111111.

Проверить результат можно обратным переводом: скопируйте полную запись без многоточия, выберите её основание как исходное и прежнее как целевое. Кнопка «Поменять основания» сохраняет число в поле; она сама не подставляет ответ. Для длинных чисел показываются первые 32 шага деления или умножения, при этом целая часть результата всегда полная.

Сохранение и ограничения

«Скопировать перевод» сохраняет результат и четыре популярных представления. «Ссылка с параметрами» позволяет открыть тот же сценарий. Если доступ к буферу обмена недоступен, текст появится в поле для ручного копирования. Неполная ссылка не дополняется числами примера: укажите недостающие параметры.

Конвертер поддерживает до 256 цифр входной записи, включая дробную часть и период. Это ограничение длины, а не величины числа. Римские числа, основания меньше двух, дробные и отрицательные основания, операции сложения и умножения двух чисел, формат IEEE 754 относятся к отдельным задачам. Математические правила и упражнения можно найти в учебных материалах ПетрГУ о системах счисления.